Question

已知二次函數f（x）=ax²+8x+3．
（1）若函數f（x）=ax²+8x+3的圖象恒在直線y=5的下方，求實數a的范圍；
（2）對于給定的負數a，有一個最大的正數l（a），使得在整個區間[0，l（a）]上，不等式|f（x）|≤5都成立．問a為何值時l（a）最大？求出這個最大的l（a），證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）=ax²+8x+3的圖象恒在直線y=5的下方，等價于f（x）_max＜5，配方后可求f（x）的最大值；
（2）當3-

16

a

＞5，3-

16

a

≤5兩種情況進行討論：作出圖象，借助圖象可轉化為解方程|f（x）|=5，根據根的情況可求；

解答：解：（1）將f（x）配方得：f（x）=a（x+

4

a

）²+3-

16

a

，
由于a＜0，于是f（x）_max=3-

16

a

．
因為函數f（x）=ax²+8x+3的圖象恒在直線y=5的下方，所以3-

16

a

＜5，解得a＜-8；
（2）分①當3-

16

a

＞5，即-8＜a＜0時，如左圖所示：
有l（a）∈（0，-

4

a

），且f（l（a））=5．
令ax²+8x+3=5，于是方程有兩不等實數根．
由于函數y=f（x）=ax²+8x+3的圖象關于直線x=-

4

a

對稱，
故方程的一根大于-

4

a

，另一根小于-

4

a

，l（a）只能取方程ax²+8x+3=5的較小根，
于是l（a）=

-4+ 16+2a

a

=

2

16+2a +4

＜

2

4

=

1

2

．
②當3-

16

a

≤5，即a≤-8時，如右圖（乙），
有l（a）＞-

4

a

，且f（l（a））=-5．
令ax²+8x+3=-5，于是方程有兩不等實數根．
且方程的一根大于-

4

a

，另一根小于-

4

a

，l（a）必須取方程ax²+8x+3=-5的較大根，
于是l（a）=

-4- 16-8a

a

=

4

4-2a -2

≤

4

4-2(-8) -2

=

5 +1

2

，當且僅當a=-8時，取“=”．
因

5 +1

2

＞

1

2

，
故可取l（a）=

5 +1

2

為最大，此時a=-8．

點評：（1）對于二次函數與二次方程及二次不等式相結合的問題，常常畫出示意圖，利用圖形的直觀性進行問題的等價變形，直至問題的最終解決；（2）容易誤認為第（1）種情形下方程的最小根為

-4- 16+2a

a

，第（2）種情形下方程的最大根為

-4+ 16-8a

a

．