Question

（本題滿分15分）已知圓：，一動直線l過與圓相交于、兩點，是中點，l與直線m：相交于.

（Ⅰ）求證：當l與m垂直時，l必過圓心；

（Ⅱ）當時，求直線l的方程；

（Ⅲ）探索是否與直線l的傾斜角　

有關，若無關，請求出其值；若有關，

請說明理由.

Answer 1

 解：（Ⅰ）l與m垂直，且，，又，

所以當l與m垂直時，l必過圓心．…………………………………………………………4分

（Ⅱ）①當直線與x軸垂直時, 易知符合題意………………………………………5分

②當直線與x軸不垂直時, 設直線的方程為，即，

因為，所以，則由，得………9分

 直線：. 從而所求的直線的方程為或……10分

（Ⅲ）因為CM⊥MN, …12分

當與x軸垂直時，易得，則,又,

…………………………………………………………………13分

當的斜率存在時，設直線的方程為，

則由，得（）,則…………14分

= …………………………………………15分

綜上，與直線l的斜率無關，且.……………………………16分

另解1：①當與x軸垂直時，易得，又，

則，……………………………………11分

②當的斜率存在時，設直線的方程為，代入圓的方程得

,則,

,即（）,則……………13分

又由，得（）, 則………14分

……………15分

綜上，與直線l的斜率無關，且.……………………………16分

另解2：連結并延長交于點，連結，由（Ⅰ）知，又，

四點都在以為直徑的圓上，由相交弦定理得：．