Question

（2013•和平區一模）一個袋子內裝有2個綠球，3個黃球和若干個紅球（所有球除顏色外其他均相同），從中一次性任取2個球，每取得1個綠球得5分，每取得1個黃球得2分，每取得1個紅球得l分，用隨機變量X表示取2個球的總得分，已知得2分的概率為

1

6

．
（I）求袋子內紅球的個數；
（II）求隨機變量并的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（I）由題意設袋中紅球的個數為n個，由于p（ξ=0）=

C 2 n

C 2 n+5

=

1

6

，化簡即可得到n的方程求解即可；
（II）由題意由于隨機變量X表示取2個球的總得分，根據題意可以得到X=2，3，4，6，7，10．利用隨機變量的定義及等可能事件的概率公式求出每一個值下的概率，并列出其分布列，有期望的定義即可求解．

解答：解：（Ⅰ）設袋中紅球的個數為n個，p（ξ=0）=

C 2 n

C 2 n+5

=

1

6

，化簡得：n²-3n-4=0，解得n=4 或n=-1 （舍去），即袋子中有4個紅球
（Ⅱ）依題意：X=2，3，4，6，7，10．
p（X=2）=

1

6

，p（X=3）=

C 1 4 • C 1 3

C 2 9

=

1

3

，p（X=4）=

C 2 3

C 2 9

=

1

12

，
p（X=6）=

C 1 2 • C 1 4

C 2 9

=

2

9

，p（X=7）=

C 1 3 • C 1 2

C 2 9

=

1

6

，p（X=10）=

C 2 2

C 2 9

=

1

36

，
X的分布列為：

∴EX=2×

1

6

+3×

1

3

+4×

1

12

+6×

2

9

+7×

1

6

+10×

1

36

=

40

9

．

點評：此題考查了學生讓那個對于題意的正確理解的能力，還考查了等可能事件的概率公式及離散型隨機變量的定義與分布列，并應用分布列求出隨機變量的期望．