Question

已知△ABC的三邊a，b，c和其面積S滿足S=c²-（a-b）²且a+b=2，則S的最大值為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由S=ab•sinC=c²-（a-b）² 以及余弦定理可得cosC=-，sinC=．再由基本不等式求得S的最大值．
解答：解：由題意可得 S=ab•sinC=c²-（a-b）²=c²-a²-b²+2ab． 又由余弦定理可得 c²=a²+b²-2ab•cosC，
由此可得 sinC=4（1-cosC），兩邊平方后化簡可得 （1-cosC）（15+17cosC）=0，∴cosC=-，或 cosC=1 （舍去）．
∴sinC=．
再由a+b≥2 ，可得ab≤1，當且僅當a=b時，取等號．
∴S=ab•sinC=ab≤，即S的最大值為 ．
故選D．
點評：本題主要考查余弦定理的應用，同角三角函數的基本關系，基本不等的應用，屬于中檔題．