Question

設橢圓的中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率e=，已知點P(0,)到這個橢圓上的點的最遠距離是，求這個橢圓的方程，并求橢圓上到點P的距離等于的點的坐標.

Answer 1

思路分析：本題充分把解析幾何問題與代數知識緊密結合,在解決該題的過程中無論哪種辦法都不可避免地要用到代數相關知識,這也體現了數學學科的特點.該題也可從兩個方面去考慮,利用橢圓參數方程與利用普通方程來考慮把問題解決.對于學生靈活應用知識的能力也是一個考查,對于具體問題具體分析,從而解決問題.

解：由題設,設橢圓的參數方程為(a＞b＞0),∵e=,

∴a=2b.設橢圓上的點(x,y)到點P的距離為d,

則d²=x²+(y-)²=a²cos²θ+(bsinθ-)²=-3b²(sinθ+)²+4b²+3,

如果＞1,b＜,則當sinθ=-1時,d²有最大值,由題設有()²=(b+)²,b=-＞,與b＜相矛盾.因此必有≤1,于是當sinθ=時,d²有最大值,

由題設有()²=4b²+3,b=1,a=2,所以所求橢圓的參數方程是

消去參數θ得+y²=1.由sinθ=-,cosθ=得橢圓上的點(,-),(,-)到點P的距離都是.