Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，對一切，點(n，S_n)在函數f(x)＝x²＋x的圖象上．

(Ⅰ)求a_n的表達式；

(Ⅱ)將數列{a_n}依次按1項、2項、3項、4項循環地分為(a₁)，(a₂，a₃)，(a₄，a₅，a₆)，(a₇，a₈，a₉，a₁₀)；(a₁₁)，(a₁₂，a₁₃)，(a₁₄，a₁₅，a₁₆)，(a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀)；(a₂₁)，…，分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為{b_n}，求b₅＋b₁₀₀的值；

(Ⅲ)設A_n為數列的前n項積，是否存在實數a，使得不等式對一切都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)點在函數上，.………1分 　　當時，.…………2分 　　當時，滿足..…………3分 　　(Ⅱ)因為()，所以數列依次按1項、2項、3項、4項循環地分為(2)，(4，6)，(8，10，12)，(14，16，18，20)；(22)，(24，26)，(28，30，32)，(34，36，38，40)；(42)，….每一次循環記為一組．由于每一個循環含有4個括號，故是第25組中第4個括號內各數之和．由分組規律知，由各組第4個括號中所有第1個數組成的數列是等差數列，且公差為20.同理，由各組第4個括號中所有第2個數、所有第3個數、所有第4個數分別組成的數列也都是等差數列，且公差均為20.故各組第4個括號中各數之和構成等差數列，且公差為80.注意到第一組中第4個括號內各數之和是68， 　　所以．又=22，所以=2010.………………8分 　　(Ⅲ)因為，故， 　　所以． 　　又對一切都成立，即 　　對一切都成立．…………9分 　　設，則只需即可． 　　由于，…10分 　　所以，故是單調遞減，于是．……12分 　　令，即， 　　解得，或． 綜上所述，使得所給不等式對一切都成立的實數存在，的取值范圍是．……………………………14分