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如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個頂點A、B及CD的中點P處，AB=20km，BC=10km。為了處理三家工廠的污水，現要在該矩形區域上（含邊界），且與A、B等距離的一點O處，建造一個污水處理廠，并鋪設三條排污管道AO、BO、PO，設排污管道的總長度為ykm，
(Ⅰ)按下列要求建立函數關系：
(ⅰ)設∠BAO=θ(rad)，將y表示為θ的函數；
(ⅱ)設PO=x(km)，將y表示成x的函數；
(Ⅱ)請你選用(Ⅰ)中的一個函數關系，確定污水處理廠的位置，使鋪設的排污管道的總長度最短．
解：(Ⅰ)(ⅰ)如圖，延長PO交AB于點Q，
由題設可知，AO=BO，PO=10-OQ，
在Rt△AQO中，，
所以，，
又易知，
故y用θ表示的函數為。
(ⅱ)由題設可知，在Rt△AQO中，，
則，顯然0≤x≤10，
所以y用x表示的函數為。
(Ⅱ)選用(Ⅰ)中的函數關系，
來確定符合要求的污水處理廠的位置．
因為，
所以，
由y′=0得，
因，故，
當時，y′＜0；當時，y′＞0，
所以函數y在時取得極小值，這個極小值就是函數y在上的最小值，
當時，。
因此，當污水處理廠建在矩形區域內且到A、B兩點的距離均為時， 鋪設的排污管道的總長度最短．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個頂點A，B及CD的中點P處．AB=20km，BC=10km．為了處理這三家工廠的污水，現要在該矩形區域上（含邊界）且與A，B等距的一點O處，建造一個污水處理廠，并鋪設三條排污管道AO，BO，PO．記鋪設管道的總長度為ykm．
（1）按下列要求建立函數關系式：
（Ⅰ）設∠BAO=θ（rad），將y表示成θ的函數；
（Ⅱ）設OP=x（km），將y表示成x的函數；
（2）請你選用（1）中的一個函數關系確定污水處理廠的位置，使鋪設的污水管道的總長度最短．

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（1）按下列要求建立函數關系式：
（i）設∠BAO=θ（rad），將y表示成θ的函數；
（ii）設OP=x（km），將y表示成x的函數；
（2）請你選用（1）中的一個函數關系確定污水處理廠的位置，使鋪設的污水管道的總長度最短．

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（i）設∠BAO=θ（rad），將y表示成θ的函數；
（ii）設OP=x（km），將y表示成x的函數；
（2）請你選用（1）中的一個函數關系確定污水處理廠的位置，使鋪設的污水管道的總長度最短．

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