Question

【題目】如圖，直三棱柱中，，為棱上一點，，為線段上一點，.

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）若，求四棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）證明線面平行，一般方法為利用線面平行判定定理，即從線線平行出發給予證明，而線線平行的尋找與論證，往往結合平幾知識，如本題構造平行四邊形，利用平行四邊形性質得線線平行（Ⅱ）求棱錐的體積，關鍵是求高，而高的探求實質是利用線面垂直關系，本題可由直三棱柱得側面與底面垂直，再根據面面垂直性質定理轉化為線面垂直，即得錐的高，最后代入錐的體積公式即可.

試題解析：（Ⅰ）證明：如圖，過點作交于點，連接.

由，故，得.

由，故，

又，故.

所以四邊形為平行四邊形，從而.

又平面，平面，

故平面.

（Ⅱ）解：由已知，因為，

則中，，

中，.

由知為等腰三角形，設底邊上的高為，

則，

，

所以四棱錐的體積.