Question

【題目】已知定點，定直線，動點到點的距離比點到的距離小1.

（1）求動點P的軌跡C的方程；

（2）過點的直線與（1）中軌跡C相交于兩個不同的點M、N，若，求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x．（2）﹣12＜k＜0．

【解析】

（1）根據條件結合拋物線的定義即可求軌跡C的方程；

（2）設直線方程聯立直線和拋物線方程轉化為一元二次方程，利用,即可求出斜率的范圍．

（1）設P（x，y），由題意可得，P在直線x+2＝0右邊，所以P點到直線x＝﹣1和到F（1，0）距離相等，所以P點的軌跡是頂點在原點，F為焦點，開口向右的拋物線，

∵F和頂點的距離1，2p＝4，所以軌跡C的方程是y2＝4x．

（2）由題意知直線l的斜率存在設為k，所以直線l的方程y＝kx+2（k≠0），M（），N（）聯立得消去x得ky2﹣4y+8＝0

∴，，且△＝16﹣32k＞0即k．

∴（）（）＝（）（）+y1y2

∵，∴﹣12＜k＜0，滿足k，

∴﹣12＜k＜0．