Question

已知函數f（x）=e^x，x∈R．
（Ⅰ）若直線y=kx+1與f（x）的反函數的圖象相切，求實數k的值；
（Ⅱ）設x＞0，討論曲線y=

f(x)

x2

與直線y=m（m＞0）公共點的個數；
（Ⅲ）設a＜b，比較f(

a+b

2

)，

f(b)-f(a)

b-a

的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 求出函數的反函數，利用直線y=kx+1與f（x）的反函數的圖象相切，求實數k的值；
（Ⅱ） 利用導數求函數的最值，利用最值討論曲線y=

f(x)

x2

與直線y=m（m＞0）公共點的個數；
（Ⅲ）利用作差法比較兩個數的大小．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）的反函數為g（x）=lnx，g′(x)=

1

x

，
設切點為P（x₀，y₀），則k=

1

x0

，切線方程：y=

1

x0

x-1+lnx0，
則-1+lnx₀=1，∴x0=e2，∴k=

1

e2

．
（Ⅱ）設h(x)=

ex

x2

(x＞0)，則h′(x)=

ex(x-2)

x3

，
由h'（x）＞0，得x＞2，
由h'（x）＜0，得0＜x＜2，
所以h（x）在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，所以h(x)min=h(2)=

e2

4

，
且x＞0且x→0，則h（x）→+∞；x→+∞，則h（x）→+∞．
所以0＜m＜

e2

4

時，沒有交點；m=

e2

4

時 1個交點；m＞

e2

4

時 2個交點．
（Ⅲ）f(

a+b

2

)-

f(b)-f(a)

b-a

=e

a+b

2

-

eb-ea

b-a

=ea(e

b-a

2

-

eb-a-1

b-a

)=ea•

(b-a)e b-a 2 -eb-a+1

b-a

；
∵a＜b，∴b-a＞0，e^a＞0，設t=

b-a

2

，t＞0，u=2t•e^t-e^2t+1u'=2e^t（1+t-e^t）＜0在（0，+∞）恒成立，
設v=1+t-e^t，v'=1-e^t＜0，在t＞0時恒成立，v＜v（0）=0，
所以u'=2e^t（1+t-e^t）＜0在（0，+∞）恒成立）u=2t•e^t-e^2t+1在（0，+∞）遞減，
t＞0時u＜u（0）=0，f(

a+b

2

)-

f(b)-f(a)

b-a

＜0，在a＜b時恒成立，f(

a+b

2

)＜

f(b)-f(a)

b-a

．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的性質，以及利用導數證明不等式，綜合性較強，運算量較大．