Question

設函數（,b為實數），.

（1）若=0且對任意實數x均有成立，求表達式；

（2）在（1）的條件下，當時，是單調函數，求實數k的取值范圍；

（3）設m>0，n<0且m+n>0, >0且為偶函數，求證：

Answer 1

（1）∵ ，   ∴.     ……（2分）

由恒成立，知， ∴ a=1.   ……（4分）

從而.

∴ .    ……（5分）

（2）由（1）可知， ∴. ……（6分）

由于在上是單調函數，知或，  ……（8分）

解得或.         ……（9分）

（3）∵ 是偶函數，∴  ，得.    ……（10分）

而a>0，∴在上為增函數.      ……（11分）

依據，知：

當x>0時，－x<0，；

當x<0時，－x>0，.

∴ 是奇函數且在上為增函數.           ……（13分）

由m>0，n<0，m+n>0，知，則，

∴ ，即.     ……（14分）