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已知，函數．

（1）求的單調區間和值域；

（2）設，若，總，使得成立，求的取值范圍；

（3）對于任意的正整數，證明：．

 

【答案】

（1）單調減區間，單調增區間，（2）；（3）略

【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。

解 （1）令，解得（舍去），

 

0

()

(1)

1

 

__

0

+

 

↘

↗

單調減區間，單調增區間，；…… 4分

（2）∵，

 ∴當時，…………………6分

∴為上的減函數，從而當時有，…8分

由題意知：，

即故 ；………………… 10分

（3）構造函數：，

則，………………… 11分

當時，，∴函數在上單調增，………………… 12分

∴時，恒有，……13分

即 恒成立，…………………14分

故對任意正整數，取有．

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知以下函數：（1）f（x）=3lnx；（2）f（x）=3ecosx；（3）f（x）=3ex；（4）f（x）=3cosx．
其中對于f（x）定義域內的任意一個自變量x1，都存在唯一一個自變量x2使
f(x1)f(x2)
=3成立的函數是（　�。�
A、（1）（2）（4）
B、（2）（3）
C、（3）
D、（4）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知分段函數f(x)=
1+x2，x≤0
e-x，x＞0
，則
∫
3
1
f(x-2)dx等于（　�。�
A、
7
3
-
1
e
B、2-e
C、3+
1
e
D、2-
1
e

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知分段函數y=
-x+1(x＜0)
0(x=0)
x+1(x＞0)
編寫程序，輸入自變量x的值，輸出其相應的函數值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知符號函數sgn x=
1 ，當x＞0時
0 ，當x=0時
-1 ，當x＜0時
則方程x+1=（2x-1）sgnx的所有解之和是（　�。�
A、0
B、2
C、-
1+
17
4
D、
7-
17
4

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知奇函數f(x)=1+
m4x+1
．
（1）求m的值；
（2）討論f（x）的單調性，并加以證明；
（3）解不等式f（x-1）+f（2-3x）＞0．

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