Question

已知函數f(x)=

1

2

ax2-2xsin2α和函數g（x）=lnx，記F（x）=f（x）+g（x）．
（1）當α=

π

3

時，若f（x）在[1，2]上的最大值是f（2），求實數a的取值范圍；
（2）當a=1時，判斷F（x）在其定義域內是否有極值，并予以證明；
（3）對任意的α∈[

π

6

，

2

3

π)，若F（x）在其定義域內既有極大值又有極小值，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）α=

π

3

時求出函數f(x)=

1

2

ax2-2xsin2α的解析式，利用導數研究出函數在[1，2]上的單調性，及最大值是f（2），建立不等式解出實數a的取值范圍；
（2）當a=1時，求出函數的解析式，函數的定義域，利用導數研究函數的極值；
（3）對任意的α∈[

π

6

，

2

3

π)，若F（x）在其定義域內既有極大值又有極小值，可得出其導數在定義域上恒有兩個不同的根，解出函數的導數，根據其形式選擇合適的方法將導數為0有兩個不同根轉化為關于參數的不等式，求解．

解答：解：（1）α=

π

3

時，f(x)=

1

2

ax2-

3

2

x．
①當a=0時，f(x)=-

3

2

x，不合題意；[1，2]⊆[

3

2a

，+∞)
②當a＜0時，f(x)=

1

2

ax2-

3

2

x在(-∞，

3

2a

]上遞增，在[

3

2a

，+∞)上遞減，而，故不合題意；
③當a＞0時，f(x)=

1

2

ax2-

3

2

x在(-∞，

3

2a

]上遞減，在[

3

2a

，+∞)上遞增，
f（x）在[1，2]上的最大值是max{f（1），f（2）}=f（2），所以f（1）≤f（2），即

1

2

a-

3

2

≤2a-3，所以a≥1．
綜上所述，實數a的取值范圍是[1，+∞）．
（2）a=1時，F(x)=

1

2

x2-2xsin2α+lnx定義域為（0，+∞），F/(x)=x+

1

x

-2sin2α≥2-2sin2α=2cos2α≥0．
①當cosα≠0時，F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上單調遞增，從而F（x）在其定義域內沒有極值；
②當cosα=0時，F/(x)=x+

1

x

-2=

(x-1)2

x

，令F′（x）=0有x=1，但是x∈（0，1）時，F′（x）＞0，F（x）單調遞增，x∈（1，+∞）時，F′（x）＞0，F（x）也單調遞增，所以F（x）在其定義域內也沒有極值．
綜上，F（x）在其定義域內沒有極值．
（3）據題意可知，令F/(x)=ax+

1

x

-2sin2α=0，即方程ax²-2xsin²α+1=0在（0，+∞）上恒有兩個不相等的實數根．即

△=4sin4α-4α＞0 α＞0

恒成立，因為α∈[

π

6

，

2

3

π)，sinα∈[

1

2

，1]，所以0＜a＜

1

16

．

點評：本題考查導數在最大值與最小值問題中的應用，解題的關鍵是利用導數研究出函數的單調性，判斷出函數的最值，本題第三小題是一個恒成立的問題，要轉化為導數方程有兩個不同根來求解，本題運算量過大，解題時要認真嚴謹，避免變形運算失誤，導致解題失�。�