Question

【題目】如圖，平面五邊形ABCDE中，AB∥CE，且AE＝2，∠AEC＝60°，CD＝ED＝，cos∠EDC＝.將△CDE沿CE折起，使點D移動到P的位置，且AP＝，得到四棱錐P－ABCE.

(1)求證：AP⊥平面ABCE；

(2)記平面PAB與平面PCE相交于直線l，求證：AB∥l.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）在中，由已知結合余弦定理得，連接，可得，在中，由，得，同理，然后利用線面垂直的判定可得平面；

（2）由，且平面， 平面，可得平面，又平面平面，結合面面平行的性質可得.

試題解析：

(1)在△CDE中，

∵CD＝ED＝，cos∠EDC＝，

由余弦定理，CE2＝()2＋()2－2×××＝4，

∴CE＝2.連接AC，

∵AE＝2，∠AEC＝60°，∴AC＝2.

又∵AP＝，

∴在△PAE中，PA2＋AE2＝PE2，即AP⊥AE，同理AP⊥AC，而AC，AE平面ABCE，AC∩AE＝A，

故AP⊥平面ABCE.

(2)∵AB∥CE，且CE平面PCE，AB平面PCE，

∴AB∥平面PCE.

又平面PAB∩平面PCE＝l，∴AB∥l.