Question

設向量

a

=(4cosα， sinα)，

b

=(sinβ， 4cosβ)，

c

=(cosβ， -4sinβ)
（1）求|

b

+

c

|的最大值；
（2）若

a

與

b

-2

c

垂直，求tan（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）根據平面向量的數量積運算法則，由

b

和

c

的坐標，表示出

b

+

c

的模，利用完全平方公式展開后，根據同角三角函數間的基本關系，及二倍角的正弦函數公式化簡，合并后，由正弦函數的值域即可得所求式子的最大值；
（2）由若

a

與

b

-2

c

垂直，得到兩向量數量積為0列出關系式，利用平面向量的數量積計算后，去括號合并，再利用兩角和與差的正弦、余弦函數公式化簡，最后利用同角三角函數間的基本關系弦化切，即可求出tan（α+β）的值．

解答：解：（1）

b

+

c

=(sinβ+cosβ， 4cosβ-4sinβ)
故|

b

+

c

|=

(sinβ+cosβ)2+(4cosβ-4sinβ)2

…（3分）
=

17-15sin2β

≤

17+15

=4

2

（當且僅當sin2β=-1時取“=”），
故|

b

+

c

|的最大值為4

2

；…（6分）
（2）由

a

⊥(

b

-2

c

)知：
（4cosα，sinα）•（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ）=0，…（8分）
即 4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，
化簡得 sin（α+β）-2cos（α+β）=0，…（11分）
故tan（α+β）=2．…（12分）

點評：此題考查了平面向量數量積的性質及其運算律，向量的模，正弦函數的值域，二倍角的正弦函數公式以及兩角和與差的正弦、余弦函數公式，熟練掌握法則及公式是解本題的關鍵．