Question

（本小題滿分13分）（注意：在試題卷上作答無效）

已知函數的反函數為，定義：若對給定的實數，函數與互為反函數，則稱滿足“和性質”．

（1）判斷函數是否滿足“1和性質”，并說明理由；

（2）若，其中滿足“2和性質”，則是否存在實數a，使得

對任意的恒成立？若存在，求出的范圍；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）函數不滿足“1和性質”；

（2）當使得對任意的恒成立

【解析】(1)首先搞清楚什么樣的函數具有“和性質”．本小題只要證明與互為反函數，即可說明y=f(x)滿足“1和性質”.

(2)設函數滿足“2和性質”，再求出其反函數，根據互為反函數，可求出k,b 的值.進而確定F(x),同時可研究其單調性.利用其單調性解再轉化為不等式恒成立問題解決.

（1）函數的反函數是，

             而其反函數為

,  故函數不滿足“1和性質”；

．．．．．．6分

（2）設函數滿足“2和性質”，

，而，得反函數

由“2和性質”定義可知=對恒成立，

即函數，，在上遞減，．．．．．．9分

所以假設存在實數滿足，即對任意的恒成立，它等價于在上恒成立. ，，易得.而知所以.綜合以上有當使得對任意的恒成立．．．．．．．13分