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(本小題滿分13分)(注意:在試題卷上作答無效)

已知函數的反函數為,定義:若對給定的實數,函數互為反函數,則稱滿足“和性質”.

(1)判斷函數是否滿足“1和性質”,并說明理由;

(2)若,其中滿足“2和性質”,則是否存在實數a,使得

對任意的恒成立?若存在,求出的范圍;若不存在,請說明理由.

 

【答案】

(1)函數不滿足“1和性質”;

(2)當使得對任意的恒成立

【解析】(1)首先搞清楚什么樣的函數具有“和性質”.本小題只要證明互為反函數,即可說明y=f(x)滿足“1和性質”.

(2)設函數滿足“2和性質”,再求出其反函數,根據互為反函數,可求出k,b 的值.進而確定F(x),同時可研究其單調性.利用其單調性解再轉化為不等式恒成立問題解決.

(1)函數的反函數是,

             而其反函數為

,  故函數不滿足“1和性質”;

......6分

(2)設函數滿足“2和性質”,

,而,得反函數

由“2和性質”定義可知=恒成立,

即函數,,在上遞減,......9分

所以假設存在實數滿足,即對任意的恒成立,它等價于上恒成立. ,易得.而所以.綜合以上有當使得對任意的恒成立.......13分

 

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