Question

已知函數f(x)=

x

1-|x|

，分別給出下面幾個結論，其中正確結論的序號有

①②③④

．
①f（x）是奇函數；
②函數f（x）的值域為R；
③函數g（x）=f（x）+x有三個零點；
④當x₁，x₂∈（-∞，-1），且x₁≠x₂，則 

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)恒成立．

Answer 1

分析：①利用奇函數的定義進行驗證f（-x）=

-x

1-|-x|

=-f（x）；②當x＞0時，f（x）=

x

1-x

=-1+

1

1-x

，可求其值域，由①知當x＜0時，可求f（x）值域，x=0時，f（x）=0，從而即可判斷；③由圖象知f（x）的圖象與y=-x有三個交點，故可判斷；④根據 

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)體現在圖象是表示圖象是下凹的，結合函數的圖象進行判斷即可．

解答：解：①f（-x）=

-x

1-|-x|

=-f（x）∴正確；
②當x＞0時，f（x）=

x

1-x

=-1+

1

1-x

∈（0，+∞）∪（-∞，-1）
由①知當x＜0時，f（x）=

x

x+1

∈（1，+∞）∪（-∞，0）
x=0時，f（x）=0
∴函數 f （x） 的值域為R，故正確；
③由圖象知f（x）的圖象與y=-x有三個交點，原點及第二、四象限各一個，
∴函數g（x）=f（x）+x有三個零點，故正確．
④

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)體現在圖象是表示圖象是下凹的，結合函數在（-∞，-1）上的圖象，其是下凹的，故④正確．
故答案為：①②③④．

點評：本題綜合考查函數的圖象、性質及函數的零點，注意數形結合思想和函數與方程思想的應用．屬中檔題