Question

【題目】已知直線的方程為，點是拋物線上到直線距離最小的點，點是拋物線上異于點的點，直線與直線交于點，過點與軸平行的直線與拋物線交于點.

（Ⅰ）求點的坐標；

（Ⅱ）證明直線恒過定點，并求這個定點的坐標.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 恒過定點，證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）到直線距離最小的點，可根據點到直線距離公式，取最小值時的點；也可根據幾何意義得為與直線平行且與拋物線相切的切點：如根據點到直線的距離

得當且僅當時取最小值，（Ⅱ）解析幾何中定點問題的解決方法，為以算代證，即先求出直線AB方程，根據恒等關系求定點.先設點 ，求出直線AP方程，與直線方程聯立，解出點縱坐標為.即得點的坐標為，再根據兩點式求出直線AB方程，最后根據方程對應恒成立得定點

試題解析：（Ⅰ）設點的坐標為，則，

所以，點到直線的距離

.

當且僅當時等號成立，此時點坐標為.………………………………4分

（Ⅱ）設點的坐標為，顯然.

當時，點坐標為，直線的方程為；

當時，直線的方程為，

化簡得；

綜上，直線的方程為.

與直線的方程聯立，可得點的縱坐標為.

因為，軸，所以點的縱坐標為.

因此，點的坐標為.

當，即時，直線的斜率.

所以直線的方程為，

整理得.

當，時，上式對任意恒成立，

此時，直線恒過定點，

當時，直線的方程為，仍過定點，

故符合題意的直線恒過定點.……………………………………13分