Question

【題目】某職稱晉級評定機構對參加某次專業技術考試的100人的成績進行了統計，繪制了頻率分布直方圖（如圖所示）．規定80分及以上者晉級成功，否則晉級失敗（滿分100分）．
（1）求圖中a的值；
（2）根據已知條件完成下面2×2列聯表，并判斷能否有85%的把握認為“晉級成功”與性別有關？

	晉級成功	晉級失敗	合計
男	16
女			50
合計

（參考公式：K2= ，其中n=a+b+c+d）

P（K2≥k）	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k	0.780	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

（3）將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機抽取4人進行約談，記這4人中晉級失敗的人數為X，求X的分布列與數學期望E（X）．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據頻率和為1，列方程得：

（2a+0.020+0.030+0.040）×10=1，

解得a=0.005；

（2）解：由頻率分布直方圖知，晉級成功的頻率為0.20+0.05=0.25；

填寫列聯表如下，

	晉級成功	晉級失敗	合計
男	16	34	50
女	9	41	50
合計	25	75	100

計算觀測值K2= = ≈2.613＞2.072，

對照臨界值得，能有85%的把握認為“晉級成功”與性別有關；

（3）解：由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率視為1﹣0.25=0.75，

故晉級失敗的概率為0.75；

從本次考試的所有人員中隨機抽取4人，記這4人中晉級失敗的人數為X，

則X～B（4， ），且P（X=k）= （k=0，1，2，3，4）；

∴P（X=0）= = ，P（X=1）= = ，

P（X=2）= = ，P（X=3）= = ，

P（X=4）= = ；

∴X的分布列為

X	0	1	2	3	4
P

X的數學期望為E（X）=4× =3．

【解析】（1）根據頻率和為1，列方程求出a的值；（2）由頻率分布直方圖計算晉級成功的頻率，填寫列聯表，計算觀測值K2 ， 對照臨界值得出能有85%的把握認為“晉級成功”與性別有關；（3）由晉級失敗的頻率估計概率，得X～B（4， ），計算對應的概率，寫出X的分布列，計算數學期望值．
【考點精析】本題主要考查了離散型隨機變量及其分布列的相關知識點，需要掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列才能正確解答此題．