Question

【題目】設，函數．

（1）當時，求在上的單調區間；

（2）設函數，當有兩個極值點時，總有，求實數的值．

Answer 1

【答案】（1）增區間是，減區間是；（2）.

【解析】試題分析：

(1)利用導函數與原函數的關系結合函數的解析式可得函數的增區間是，減區間是；

(2)利用題意結合導函數的性質可得 .

試題解析：

（1）當時，，

則，令，則.

易知在上單調遞減，又

所以在上單調遞減，又因為，

所以當時，，從而，這時單調遞增，

當時，，從而，這時單調遞減.

所以在上的增區間是 減區間是

（2）由題可知，則.

根據題意方程有兩個不等實數根且，

令得，且，所以

由，其中，

得.將代入左式得：，整理得.

即不等式對任意恒成立.

①當時，得 ②當時，即

令，易知是上的減函數，

所以，所以

③當時，即.

在上也是減函數，,所以

綜上所述