Question

（8分）已知是定義在[-1,1]上的奇函數，且，若任意的，當時，總有．

（1）、判斷函數在[-1,1]上的單調性，并證明你的結論；   

（2）、解不等式：；

（3）、若對所有的恒成立，其中（是常數），求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）在上是增函數，證明如下：

任取，且，則，于是有，

而，故，故在上是增函數

（2）由在上是增函數知：   

，

故不等式的解集為．        

（3）由（1）知最大值為，所以要使對所有的恒成立，

只需成立，即成立．

①  當時，的取值范圍為；

②當時，的取值范圍為；

③當時，的取值范圍為R．           

【解析】（1）利用函數單調性的定義進行證明；（2）由函數的定義域和單調性得到關于的不等式組，解不等式組得到答案；（3）先求出最大值為，轉化成關于的不等式，討論，，得的取值范圍.