Question

【題目】定義區間的長度均為，多個互無交集的區間的并集長度為各區間長度之和，例如的長度。用表示不超過的最大整數，例如。記。設，，若用、和分別表示不等式、方程和不等式解集區間的長度，則當時，____________.

Answer 1

【答案】2016

【解析】

先化簡f（x）=[x]{x}=[x]（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，再化簡f（x）＞g（x），再分類討論：①當x∈[0，1）時，②當x∈[1，2）時③當x∈[2，2018]時，從而得出f（x）＞g（x）在0≤x≤2018時的解集的長度；對于f（x）=g（x）和f（x）＜g（x）進行類似的討論即可．

f（x）=[x]{x}=[x]（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=x﹣1，

（i）由f（x）＞g（x），得到[x]x﹣[x]2＞x﹣1，即（[x]﹣1）x＞[x]2﹣1，

當x∈[0，1）時，[x]=0，上式可化為x＜1，此時x∈[0，1）；

當x∈[1，2）時，[x]=1，上式可化為0＜0，此時x∈；

當x∈[2，2018]時，[x]﹣1＞0，上式可化為x＞[x]+1，此時x∈；

綜上，x∈[0，1），即d1=1；

（ii）由f（x）=g（x），得到[x]x﹣[x]2=x﹣1，即（[x]﹣1）x=[x]2﹣1，

當x∈[0，1）時，[x]=0，上式化為x=1，此時x∈，

當x∈[1，2）時，[x]=1，上式化為0=0，此時x∈[1，2），

當x∈[2，2018]時，可得[x]﹣1＞0，上式可化為x=[x]+1，此時x∈，

∴f（x）=g（x）在0≤x≤2018的解集為[1，2），即d2=1；

（iii）由f（x）＜g（x），得到[x]x﹣[x]2＜x﹣1，即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1，

當x∈[0，1）時，[x]=0，上式可化為x＞1，此時x∈，

當x∈[1，2）時，[x]=1，上式化為0＞0，此時x∈，

當x∈[2，2018]時，[x]﹣1＞0，上式化為x＜[x]+1，此時x∈[2，2018]，

∴f（x）＜g（x）在0≤x≤2018時的解集為[2，2018]，即d3=2016，

則d1d2d3=2016，

故答案為：2016．