Question

已知兩函數f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中k為實數.

(1)對任意x∈[-3,3]都有f(x)≤g(x)成立,求k的取值范圍.

(2)存在x∈[-3,3]使f(x)≤g(x)成立,求k的取值范圍.

(3)對任意x1,x2∈[-3,3]都有f(x1)≤g(x2),求k的取值范圍.

 

Answer 1

(1) k≥45 (2) k≥-7 (3) k≥141

【解析】(1)設h(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k,

問題轉化為x∈[-3,3]時,h(x)≥0恒成立,

即h(x)min≥0,x∈[-3,3].

令h'(x)=6x2-6x-12=0,得x=2或x=-1.

∵h(-3)=k-45,h(-1)=k+7,h(2)=k-20,

h(3)=k-9,

∴h(x)min=k-45≥0,得k≥45.

(2)據題意:存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,

即為h(x)=g(x)-f(x)≥0在x∈[-3,3]上能成立,

∴h(x)max≥0.∴h(x)max=k+7≥0,得k≥-7.

(3)據題意:f(x)max≤g(x)min,x∈[-3,3],

易得f(x)max=f(3)=120-k,g(x)min=g(-3)=-21.

∴120-k≤-21,得k≥141.