Question

已知函數（a為常數）．
（Ⅰ）當a=5時，求f（x）的極值；
（Ⅱ）若f（x）在定義域上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）a=5時，，∴，==

x				x=4	x＞4
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值f（4）	遞增

∴，f（x）_極小=-6+ln4
（Ⅱ）解法1：∵f（x）在定義域（0，+∞）上是增函數，∴f'（x）≥0對x∈（0，+∞）恒成立，即…（8分）∴
又（當且僅當x=1時，）∴…（13分）∴a∈（-∞，4]
解法2：令，則：
或
解得，a≤0，或0＜a≤4，
∴a∈（-∞，4]
分析：（Ⅰ）求出函數的導數，令導數等于0，解得x的值，為函數的極值點，列表考查極值點兩側導數的正負，判斷極值點處為極大值還是極小值，再求出極值即可．
（Ⅱ）解法1，若f（x）在定義域上是增函數，則f（x）在整個定義域上，導數大于0恒成立，得到含a和x的不等式，根據x的范圍求出a的范圍即可．
解法2，前面同解法1，先得到含a和x的不等式，把看做一個整體，用t表示，則f'（x）可看做關于t的二次函數，即關于t的二次函數圖象恒在x軸上方，在判斷參數a份額范圍．
點評：本題主要考查了應用導數求函數的極值，判斷函數的單調性，屬于導數的應用．