Question

在本次考試中共有12道選擇題，每道選擇題有4個選項，其中只有一個是正確的，得分標準規定：“每題只選一項，答對得5分，不答或答錯得0分”，某考生每道題都給出一個答案，該考生已確定有9道題的答案是正確的，而其余題中，有1道題可判斷出兩個選項是錯誤的，有一道可以判斷出一個選項是錯誤的，還有一道因不了解題意只能亂猜，試求該考生
（1）選擇題得60分的概率；
（2）選擇題所得分數ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）得分為60需12道題必須全做對．且最后3題的概率分別為：

1

2

，

1

3

，

1

4

，由獨立事件的概率公式可得答案；
（2）ξ的取值范圍為{45，50，55，60}，得分為45分表示只做對了9道題，其余各題都做錯，可得P(ξ=45)=

1

2

•

2

3

•

3

4

=

6

24

，同理可得其余的概率，可得分布列，進而可得其期望值．

解答：解：（1）設得分為60分為事件A，得分為60分，12道題必須全做對．
在其余的3道題中，有1道題答對的概率為

1

2

，有1道題答對的概率為

1

3

，還有1道答對的概率為

1

4

，
所以得分為60分的概率為：P(A)=

1

2

•

1

3

•

1

4

=

1

24

…（5分）
（2）依題意，該考生得分ξ的取值范圍為{45，50，55，60}              …（6分）
得分為45分表示只做對了9道題，其余各題都做錯，
所以概率為P(ξ=45)=

1

2

•

2

3

•

3

4

=

6

24

…（7分）
得分為50分的概率為P(ξ=50)=

1

2

•

2

3

•

3

4

+

1

2

•

1

3

•

3

4

+

1

2

•

2

3

•

1

4

=

11

24

…（8分）
得分為55分的概率為P(ξ=55)=

1

2

•

1

3

•

3

4

+

1

2

•

2

3

•

1

4

+

1

2

•

1

3

•

1

4

=

6

24

…（9分）
得分為60分的概率為P(ξ=60)=

1

2

•

1

3

•

1

4

=

1

24

…（10分）
所以得分ξ的分布列為

ξ	45	50	55	60
P	6 24	11 24	6 24	1 24

數學期望Eξ=45×

1

4

+50×

11

24

+55×

6

24

+60×

1

24

=

605

12

…（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的期望，涉及等可能事件，獨立事件的概率的求解，屬中檔題．