Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n-2a_n-34，n∈N⁺
（1）證明：{a_n-1}是等比數列；
（2）求數列{S_n}的通項公式，并求出使得S_n+1＞S_n成立的最小正整數n．

Answer 1

分析：（1）由a_n與S_n的關系可得，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=1-2a_n+2a_n-1，化簡得3a_n=2a_n-1+1，即a_n-1=

2

3

(an-1-1)，求出a₁結合等比數列的定義可證明；
（2）由（1）可求得a_n，代入已知條件可得S_n，代入不等式解出n，由n的范圍可求得答案；

解答：（1）證明：當n≥2時，S_n-1=（n-1）-2a_n-1-34，
∴a_n=S_n-S_n-1=1-2a_n+2a_n-1，
∴3a_n=2a_n-1+1，即a_n-1=

2

3

(an-1-1)，
又當n=1時，a₁=S₁=1-2a₁-34，解得a₁=-11，則a₁-1=-12．
∴{a_n-1}是首項為-12，公比為

2

3

的等比數列；
（2）由（1）可得a_n-1=-12•(

2

3

)n-1，則a_n=1-12•(

2

3

)n-1，
∴Sn=n-2[1-12•(

2

3

)n-1]-34=n+24•(

2

3

)n-1-36，
由S_n+1＞S_n得S_n+1-S_n＞0，即[（n+1）+24•(

2

3

)n-36]-[n+24•(

2

3

)n-1-36]＞0，
化簡得8•(

2

3

)n-1＜1，解得n＞1+log

2

3

1

8

≈5.13，
所以使得S_n+1＞S_n成立的最小正整數n=6．

點評：本題考查數列遞推式求數列通項、數列求和及解不等式，考查學生綜合運用知識解決問題的能力．