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已知定義域為（0，+∞）的單調函數f（x），若對任意x∈（0，+∞），都有f(f(x)+log
1
2
x)=3，則方程f(x)=2+
x
的解的個數是
0
0
．
分析：先化簡方程，并畫出圖象，進而利用指數函數和對數函數類型的單調性的快慢程度即可得出答案．
解答：解：∵定義域為（0，+∞）的單調函數f（x），對任意x∈（0，+∞），都有f(f(x)+log
1
2
x)=3，方程f(x)=2+
x
，
∴f（2+
x
+log
1
2
x）=3，
∴2+
2+
x
+log
1
2
x
=3，
∴2+
x
+log
1
2
x=1，即1+
x
-log2x=0．
作出函數y=1+
x
，y=log2x的圖象：
根據指數函數和對數函數類型的單調性增長的快慢可知：y=1+
x
先慢后快，而函數y=log2x先快后慢，
故兩個函數的圖象沒有交點．
∴方程f(x)=2+
x
的解的個數為0．
故答案為0．
點評：正確理解指數函數和對數函數類型的單調性增長的快慢程度是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義域為（0，+∞）的函數f（x）滿足：
（1）對任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；
（2）當x∈（1，2]時f（x）=2-x給出結論如下：
①任意m∈Z，有f（2m）=0；
②函數f（x）的值域為[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；
④“函數f（x）在區間（a，b）上單調遞減”的充要條件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k-1）．
其中所有正確結論的序號是
 

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義域為（0，+∞）的單調函數f（x）滿足：f（m）+f（n）=f（m•n）對任意m，n∈（0，+∞）均成立．
（Ⅰ）求f（1）的值；若f（a）=1，求f(
1a
)的值；
（Ⅱ）若關于x的方程2f（x+1）=f（kx）有且僅有一個根，求實數k的取值集合．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義域為（0，+∞）的函數f（x）滿足：（1）對任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）當x∈（1，2]時，f（x）=2-x．給出如下結論：
①對任意m∈Z，有f（2m）=0；
②存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；
③函數f（x）的值域為[0，+∞）；
④“函數f（x）在區間（a，b）上單調遞減”的充要條件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k+1）”．
其中所有正確結論的序號是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義域為（0，+∞）函數f（x）的解析式滿足（x-1）f（x-1）=x2-2x+2．函數g（x）=
f(x)，x＞0
f(-x)，x＜0
，則函數g（x）在區間[-2，-
1
2
]上的值域是
[2，
5
2
]
[2，
5
2
]
．

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