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【題目】如圖，正四棱錐 中底面邊長為，側棱PA與底面ABCD所成角的正切值為．

（I）求正四棱錐 的外接球半徑；

（II）若 是 中點，求異面直線 與 所成角的正切值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）連結， 交于點，連結，則面，利用側棱與底面所成角的正切值為，可得，利用勾股定理建立方程，求出；（2）容易證明以且，可得就是異面直線與所成的角，在中求解.

試題解析：（1）連結， 交于點，連結，則面，

∴就是與底面所成的角，

， 又，則．

設為外接球球心，連，易知，設，則， ∴，

∴正四棱錐的外接球半徑為；

（2）連結，由于為中點， 為中點，所以 ．

∴就是異面直線與所成的角．

在中， ，∴．

由， 可知面， 所以，

在中， ，

即異面直線PD與AE所成角的正切值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面為正方形，⊥底面，分別是的中點，.

（Ⅰ）求證∥平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成的角；

（Ⅲ）求四棱錐的外接球的體積.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】簡陽羊肉湯已入選成都市級非遺項目，成為簡陽的名片。當初向各地作了廣告推廣，同時廣告對銷售收益也有影響。在若干地區各投入4萬元廣告費用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）．由于工作人員操作失誤，橫軸的數據丟失，但可以確定橫軸是從0開始計數的．

（Ⅰ）根據頻率分布直方圖，計算圖中各小長方形的寬度；

（Ⅱ）根據頻率分布直方圖，估計投入4萬元廣告費用之后，并將各地銷售收益的平均值（以各組的區間中點值代表該組的取值）；

（Ⅲ）按照類似的研究方法，測得另外一些數據，并整理得到下表：

廣告投入x（單位：萬元）

1

2

3

4

5

銷售收益y（單位：百萬元）

2

3

2

7

表中的數據顯示，與之間存在線性相關關系，請將（Ⅱ）的結果填入空白欄，并計算關于的回歸方程．回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為 , ．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】（1）求過點且在兩個坐標軸上截距相等的直線方程。

（2）已知圓心為的圓經過點和，且圓心在直線上，求圓心為的圓的標準方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知圓C：x2＋y2＝9，點A(－5，0)，直線l：x－2y＝0.

(1)求與圓C相切，且與直線l垂直的直線方程；

(2)在直線OA上(O為坐標原點)，存在定點B(不同于點A)，滿足：對于圓C上任一點P，都有為一常數，試求所有滿足條件的點B的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數．

（1）當時，求曲線在處的切線方程；

（2）討論方程根的個數.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數．

（1）求函數的極值；

（2）對于曲線上的不同兩點，如果存在曲線上的點，且使得曲線在點處的切線，則稱為弦的伴隨直線，特別地，當時，又稱為的—伴隨直線．

①求證：曲線的任意一條弦均有伴隨直線，并且伴隨直線是唯一的；

②是否存在曲線，使得曲線的任意一條弦均有—伴隨直線？若存在，給出一條這樣的曲線，并證明你的結論；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某大學開設甲、乙、丙三門選修課，學生是否選修哪門課互不影響，已知某學生只選修甲的概率為0.08，只選修甲和乙的概率是0.12，至少選修一門的概率是0.88，用表示該學生選修的課程門數和沒有選修的課程門數的乘積．

（1）記“函數為上的偶函數”為事件，求事件的概率；

（2）求的分布列和數學期望．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知．

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）若存在兩個極值點且，求的取值范圍．

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