Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx滿足條件：①對任意x∈R，均有f（x-4）=f（2-x）②函數f（x）的圖象與y=x相切．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設g（x）=2f（x）-18x+q+3，若存在常數t （t≥0），當x∈[t，10]時，g（x）的值域為區間D，且D的長度為12-t，請求出t的值．（注：[a，b]的區間長度為b-a）

Answer 1

分析：（1）根據對任意x∈R，均有f（x-4）=f（2-x），分別代入解析式，即可得到關于a和b的一個方程，又函數f（x）的圖象與y=x相切，可以得到方程ax²+bx=x有且只有一個解，從而列出關于a和b的方程，求解即可得到f（x）的解析式；
（2）求出g（x）的解析式為g（x）=x²-16x+q+3，根據0≤t＜10，f（x）在區間[0，8]上是減函數，在區間[8，10]上是增函數，且其圖象的對稱軸是x=8．故可分類討論：①當0≤t≤6時，在區間[t，10]上，f（t）最大，f（8）最�。虎诋�6＜t≤8時，在區間[t，10]上，f（10）最大，f（8）最小；③當8＜t＜10時，在區間[t，10]上，f（10）最大，f（t）最小，故可求常數t的值．

解答：解：（1）∵二次函數f（x）=ax²+bx滿足條件①對任意x∈R，均有f（x-4）=f（2-x），
∴a（x-4）²+b（x-4）=a（2-x）²+b（2-x），
∴（2x-6）（-2a+b）=0，
∴b=2a  
又函數f（x）的圖象與y=x相切，
∴方程ax²+bx=x有且只有一個解，且b=2a，
∴ax²+（2a-1）x=0的兩根相等，
∴△=（2a-1）²-4a×0=0，即（2a-1）²=0，
a=

1

2

，b=1，
∴f（x）=

1

2

x²+x；
（2）由（1）知，f（x）=

1

2

x²+x，且g（x）=2f（x）-18x+q+3，
∴g（x）=x²-16x+q+3，
∴g（x）圖象的對稱軸為x=8，
又∵x∈[t，10]，且t≥0，
∴g（x）在區間[0，8]上是減函數，在區間[8，10]上是增函數，
①當0≤t≤6時，g（x）在區間[t，8]上單調遞減，在[8，10]上單調遞增，
∴當x=t時，g（x）取得最大值g（t），
當x=8時，g（x）取得最小值g（8），
∵g（x）的值域為區間D，且D的長度為12-t，
∴g（t）-g（8）=12-t，即t²-15t+52=0，
∴t=

15± 17

2

，
又t＞0時，
∴t=

15+ 17

2

；
②當6＜t≤8時，g（x）在區間[t，8]上單調遞減，在[8，10]上單調遞增，
∴當x=10時，g（x）取得最大值g（10），
當x=8時，g（x）取得最小值g（8），
∵g（x）的值域為區間D，且D的長度為12-t，
∴g（10）-g（8）=12-t，即4=12-t，
∴t=8；
③當8＜t＜10時，g（x）在區間[t，10]上單調遞增，
∴當x=10時，g（x）取得最大值g（10），
當x=t時，g（x）取得最小值g（t），
∵g（x）的值域為區間D，且D的長度為12-t，
∴g（10）-g（t）=12-t，即t²-17t+72=0，
∴t=8或t=9，
又∵8＜t＜10，
∴t=9．
綜合①②③可得，存在常數t=

15+ 17

2

或t=8或t=9，使得當x∈[t，10]時，g（x）的值域為區間D，且D的長度為12-t．

點評：本題考查了函數解析式的求解及常用方法，二次函數在閉區間上的最值問題．求函數解析式常見的方法有：待定系數法，換元法，湊配法，消元法等．本題運用了待定系數法求函數的解析式．有關二次函數的性質，要注意數形結合的應用，注意抓住二次函數的開口方向，對稱軸，以及判別式的考慮．屬于中檔題．