Question

某糖果廠為了拓寬其產品的銷售市場，決定對一種半徑為1的球形糖果的外層包裝進行設計，設計時要求同時滿足如下條件：
（1）外包裝要呈一封閉的圓錐形狀；
（2）為減少包裝成本，要求所用材料最��；
（3）為了方便攜帶，包裝后每個糖果的體積最�。畣枺哼@些條件能同時滿足嗎？如果能，如何設計這個圓錐的底面半徑和高？此時所用的外包裝用料是多少？體積是多少？如不能，請說明理由．

Answer 1

分析：假設圓錐母線與底面夾角為2θ，圓錐的全面積=πR（l+R），然后利用二次函數求出其最值，圓錐的體積為V=

1

3

Sh，利用二次函數求出最值，看能同時取到最值，從而得到結論．

解答：解：假設圓錐母線與底面夾角為2θ．
圓錐的全面積=πR（l+R）
=π•

1

tgθ

•

2

tgθ(1-tg2θ)

=

2π

tg2θ(1-tg2θ)

．
在圓錐全面積的表達式中，因其分子為常數，所以欲使全面積最小，必須使其分母最大．
tg2θ(1-tg2θ)=

1

4

-

1

4

(2tg2θ-1)2．
因此，欲使tg²θ（1-tg²θ）最大，必須
2tg2θ-1=0，tgθ=

2

2

，（因必為銳，所以僅取正號）
θ=arctg

2

2

．
故當θ取值 θ=arctg

2

2

時，圓錐的全面積最�。�
圓錐的體積為V=

1

3

Sh=

1

3

π

1

tg2θ

（1+

1

cos2θ

）=

π

3

1

tg2θ

×

2

1-tg2θ

根據體積的表達式中，因其分子為常數，所以欲使體積最小，必須使其分母最大．
tg2θ(1-tg2θ)=

1

4

-

1

4

(2tg2θ-1)2．
因此，欲使tg²θ（1-tg²θ）最大，必須
2tg2θ-1=0，tgθ=

2

2

，（因必為銳，所以僅取正號）
θ=arctg

2

2

．
故當θ取值 θ=arctg

2

2

時，圓錐的體積最�。�
∴這個圓錐的底面半徑為

2

和高為4，此時所用的外包裝用料是8π，體積是

8π

3

．

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，同時考查了圓錐的體積和表面積，以及最值的求解，屬于中檔題．