Question

【題目】已知二次函數滿足（），且.

（1）求的解析式；

（2）若關于的方程在區間上有唯一實數根，求實數的取值范圍（注：相等的實數根算一個）.

（3）函數，試問是否存在實數，使得對任意， 都有成立，若存在，求出實數的取值范圍，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）設（），代入條件化簡并根據恒等式成立條件得， ， ，（2）研究二次方程根的情況，往往結合二次函數圖像，即轉化為研究直線與二次函數交點個數，作出圖像，根據圖像得實數的取值范圍（3）先將不等式恒成立問題轉化為對應函數最值： ，再根據二次函數對稱軸與定義區間位置關系，分類討論函數最值，解對應不等式，可得實數的取值范圍

試題解析：（1）設（）

代入得對于恒成立，故

又由得，解得， ， ，

所以

（2）由方程得，令， ，

即要求函數在上有唯一的零點，

①，則，代入原方程得或，不合題意；

②若，則，代入原方程得或，滿足題意，故成立；

③若，則，代入原方程得，滿足題意，故成立.

④若且且時，由得.

綜上，實數的取值范圍是.

解法2：由方程得，即直線與函數， 的圖象有且只有一個交點（參照給分）

（3）由題意知

假設存在實數滿足條件，對任意， 都有成立，即，故有，

由，

①當時， 在上為增函數， ，所以

②當時，

，即

解得，所以.

③當時，

即解得，所以

③當時，

即，所以

綜上所述，

所以當時，使得對任意， 都有成立