Question

【題目】已知雙曲線的左、右頂點分別為，焦點在軸上的橢圓以為頂點，且離心率為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設過點的直線交雙曲線右支于另一點，交橢圓于另一點，記，的面積分別為，若，求直線的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由雙曲線的性質可得的坐標，即可得橢圓中的值，結合離心率可得的值，進而可得結果.

（2）設，，直線方程，分別將直線與雙曲線的方程，直線與橢圓的方程聯立求得，的值，根據面積關系可得為和的中點，即，代入解出的值即可.

（1）由題意得，，所以在焦點在軸上橢圓中，

又∵橢圓離心率，結合，可得，

∴橢圓的方程為.

（2）設，其中，，

由題意可得直線斜率一定存在，故可設直線方程，

由得，

又∵，即，

由得，

又∵，即，

，的面積分別為，滿足，

可得為和的中點，即，

代入得，

解得