Question

（本題滿分14分）已知函數．

（Ⅰ）當時，函數取得極大值，求實數的值；

（Ⅱ）已知結論：若函數在區間內存在導數，則存在，使得. 試用這個結論證明：若函數（其中），則對任意，都有；

（Ⅲ）已知正數滿足，求證：對任意的實數，若時，都有.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）構造函數h(x)=f(x)-g(x),然后借助于函數的導數判定單調性，然后證明最小值大于零即可。而第三問中，在上一問的基礎上，運用結論放縮得到證明。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題設，函數的定義域為，且

所以，得，此時.

當時，，函數在區間上單調遞增；

當時，，函數在區間上單調遞減.

函數在處取得極大值，故       …………………………4分

（Ⅱ）令，

則.

因為函數在區間上可導，則根據結論可知：存在

使得                      …………………………7分

又，

當時，，從而單調遞增，；

當時，，從而單調遞減，；

故對任意，都有         . …………………………9分

（Ⅲ），且，，

 

同理，      …………………………12分

由（Ⅱ）知對任意，都有，從而

．

…………………………14分

考點：考查了導數的運用

點評：解決該試題的關鍵是根據導數的符號，確定函數單調性，進而分析得到最值，證明不等式的成立。屬于中檔題 。