Question

【題目】已知曲線T上的任意一點到兩定點的距離之和為，直線l交曲線T于A、B兩點，為坐標原點.

（1）求曲線的方程；

（2）若不過點且不平行于坐標軸，記線段AB的中點為M，求證：直線的斜率與l的斜率的乘積為定值；

（3）若OAOB，求△面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明過程詳見解析（3）

【解析】

（1）利用橢圓的定義可知曲線為的橢圓，直接寫出橢圓的方程．

（2）設直線l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），，聯立直線方程與橢圓方程，通過韋達定理求解KOM，然后推出直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值．

（3）當直線OA，OB分別與坐標軸重合時，△AOB的面積，當直線OA，OB的斜率均存在且不為零時，設OA：y＝kx，OB：y，將y＝kx代入橢圓C，得到A點坐標，同理得到B點坐標，由利用換元法結合已知條件能求出△AOB的面積的取值范圍．

解：（1）由題意知曲線是以原點為中心，長軸在軸上的橢圓，

設其標準方程為，則有，

所以，∴ .

（2）證明：設直線的方程為，

設

則由 可得，即

∴，∴ ，

，

，

∴直線的斜率與 的斜率的乘積=為定值

（3）當直線、分別與坐標軸重合時，易知的面積，

當直線、的斜率均存在且不為零時，設直線、的方程為：， 點，

由 可得，

∴，代入得 ，

同理可得，

∴

令，，

則

由知 ，

綜上可知， .