Question

已知曲線f（x）=ax+blnx-1在點（1，f（1））處的切線為直線y=0．
（1）求實數a，b的值；
（2）設函數，其中m為常數．
（i）求g（x）的單調遞增區間；
（ii）求證：當1＜m＜3，x∈（1，e）（其中e=2.71828…）時，總有成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導函數，利用切線的斜率為0，可得f'（1）=0，又f（1）=0，即可求實數a，b的值；
（2）（i）求導函數，當m≤0時，g′（x）＞0；當m＞0時，由g′（x）＞0，可得g（x）的單調遞增區間；
（ii）當1＜m＜3，函數在（1，）上單調減，在（，e）上單調增，從而可得函數的最小值，構建函數h（m）=g（）=--lnm，求導函數，確定函數的單調性，即可證得結論．
解答：（1）解：求導函數，可得f'（x）=a+
由已知得切線的斜率為0，從而f'（1）=0，所以a+b=0
又f（1）=a-1=0，所以a=1，b=-1．
（2）=，∴g′（x）=x-
（i）解：當m≤0時，∵x＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）的單調遞增區間是（0，+∞）；
當m＞0時，由g′（x）＞0，得x＞或x＜-（舍去）
∴g（x）的單調遞增區間是（，+∞）；
（ii）證明：當1＜m＜3，函數在（1，）上單調減，在（，e）上單調增
∴g（x）_min=g（）=--lnm
∴g（）≤g（x）＜max{g（1），g（e）}
設h（m）=g（）=--lnm，∴h′（m）=-1-lnm
∵1＜m＜3，∴lnm＞0，∴h′（x）＜0
∴h（x）在（1，3）上單調遞減
∴h（m）＞h（3）=--ln3
∴1＜m＜3，x∈（1，e）（其中e=2.71828…）時，g（x）＞--ln3
∵1＜m＜3，∴g（e）=-2m＜，g（1）=-＜
∴1＜m＜3，x∈（1，e）（其中e=2.71828…）時，g（x）＜
∴當1＜m＜3，x∈（1，e）（其中e=2.71828…）時，總有成立．
點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查不等式的證明，正確求導，構建函數是關鍵．