Question

莆田十中高三（1）研究性學習小組對函數f(x)=

sinx

x

的性質進行了探究，小組長收集到了以下命題：
下列說法中正確命題的序號是

①③④

．（填出所有正確命題的序號）
①f（x）是偶函數；                     ②f（x）是周期函數；
③f（x）在區間（0，π）上的單調遞減；  ④f（x）沒有值最大值．

Answer 1

分析：直接利用f（-x）與f（x）之間的關系即可判斷①是否成立；
借助于導函數值的正負即可判斷出③是否成立；
根據y=sinx是周期為2π的函數，函數值每過2π重復出現，但y=x是一單調遞增函數即可判斷出②④．

解答：解：因為函數f(x)=

sinx

x

，
∴f（-x）=

sin(-x)

-x

=

-sinx

-x

=

sinx

x

=f（x）．即f（x）是偶函數；①成立．
又f′（x）=

xcosx+sinx

x2

，
令g（x）=xcosx+sinx，得g′（x）=-xsinx，在（0，π）上，g′（x）＜0恒成立，故g（x）_max＜g（0）=0．
∴f′（x）＜0恒成立．
∴f（x）在區間（0，π）上的單調遞減； 即③成立．
又∵y=sinx是周期為2π的函數，函數值每過2π重復出現，但y=x是一單調遞增函數，
所以：f（x）不是周期函數；且f（x）沒有值最大值，即②不成立，④成立．
故答案為：①③④．

點評：本題主要考查函數的奇偶性的判斷以及導函數在研究函數單調性中的應用問題．在判斷函數的奇偶性時，一般是先看定義域，再看f（-x）與f（x）之間的關系，當f（-x）=f（x）時為偶函數，當f（-x）=-f（x）時為奇函數．