【題目】如圖，梯形
中，
，
，
，
、
分別是
，
的中點，現將
沿
翻折到
位置，使
（1）證明：
面
；
（2）求二面角
的平面角的正切值；
（3）求
與平面
所成的角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
；（3）
.
【解析】
（1）通過折疊關系得
，計算并證明
，即可得證線面垂直；
（2）結合已證結論以
為原點，
分別為
軸建立空間直角坐標系，分別通過平面
和平面
的法向量求出其余弦值，再求出正弦值；
（3）計算出平面的法向量與
的方向向量的夾角余弦值的絕對值即可.
（1）梯形
中，
，
，
，、
分別是
，
的中點，
，四邊形
為平行四邊形，，
，
，
所以四邊形為正方形，
，折疊后，
，
，
，在三角形
中，
，
所以
，
是平面內兩條相交直線，
所以
面；
（2）兩兩互相垂直，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：
則
，設平面的法向量為
則
，解得
，令
，取
由（1）可知，面，取平面的法向量
，
根據圖形，二面角
的平面角的余弦值為
所以二面角的平面角的正切值為；
（3）
，由（2）可得平面的法向量
設直線與平面所成的角為
，
.
所以與平面所成的角的正弦值.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，有一塊矩形空地，要在這塊空地上開辟一個內接四邊形為綠地，使其四個頂點分別落在矩形的四條邊上，已知
且
設
，綠地面積為
.
(1)寫出關于
的函數關系式，并指出這個函數的定義域．
(2)當
為何值時，綠地面積最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】首屆世界低碳經濟大會在南昌召開，本屆大會以“節能減排，綠色生態”為主題，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，采用了新工藝，把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品．已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本
(元)與月處理量
(噸)之間的函數關系可近似地表示為
，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為100元．
（1）該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？
（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多少元才能使該單位不虧損？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是邊長為
的正方形，
，
是
的中點，
是線段
上異于端點的一點，平面
平面
，
.
（Ⅰ）證明：
；
（Ⅱ）若
與平面所成的角的正弦值為
，求四棱錐
的體積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】給出下列四個命題，其中正確命題的個數是______個.
①線段
在平面
內，則直線不在平面內；②兩平面有一個公共點，則一定有無數個公共點；③三條平行直線共面；④空間三點確定一個平面.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側面BB1C1C為∠CBB1=60°的菱形,AB=AC1 .
(1)證明:平面AB1C⊥平面BB1C1C
(2)若AB⊥B1C,直線AB與平面BB1C1C所成的角為30°,求直線AB1與平面A1B1C 所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，焦距為
，直線
過橢圓的
左焦點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線
與
軸交于點
是橢圓上的兩個動點,
的平分線在軸上,
.試判斷直線
是否過定點，若過定點，求出定點坐標;若不過定點，請說明理由.
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