Question

已知函數f（x）=cosx•

1+sinx 1-sinx

+sinx•

1+cosx 1-cosx

（1）當x∈(-

π

2

，0)時，化簡f（x）的解析式；
（2）當x∈(

π

2

，π)時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根據x∈(-

π

2

，0)，cosx＞0，sinx＜0，化簡函數f（x）的解析式為

2

sin（x-

π

4

）．
（2）當x∈(

π

2

，π)時，化簡函數f（x）的解析式為

2

cos（x+

π

4

），根據 x+

π

4

∈（

3π

4

，

5π

4

），求得-1≤cos（x+

π

4

）＜-

2

2

，從而求得函數f（x）的值域．

解答：解：（1）∵當x∈(-

π

2

，0)時，cosx＞0，sinx＜0，
∴函數f（x）=cosx•

1+sinx 1-sinx

+sinx•

1+cosx 1-cosx

=

cosx

|cosx|

•(1+sinx)+

sinx

|sinx|

•(1+cosx)
=1+sinx-（1+cosx）=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

）．
（2）當x∈(

π

2

，π)時，函數f（x）=cosx•

1+sinx 1-sinx

+sinx•

1+cosx 1-cosx

=

cosx

|cosx|

•(1+sinx)+

sinx

|sinx|

•(1+cosx)
=-（1+sinx）+（1+cosx）=cosx-sinx=

2

cos（x+

π

4

）．
 x+

π

4

∈（

3π

4

，

5π

4

），∴-1≤cos（x+

π

4

）＜-

2

2

，∴-

2

≤

2

cos（x+

π

4

）＜-1，
故函數f（x）的值域為[-

2

，-1 ）．

點評：本題主要考查同角三角函數的基本關系、余弦函數的定義域和值域，以及三角函數在各個象限中的符號，屬于中檔題．