Question

已知cosα=-

3

4

，sinβ=

2

3

，α是第三象限角，β∈(

π

2

，π)．
（Ⅰ）求sin2α的值；
（Ⅱ）求cos（2α+β）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求cosα，再利用二倍角公式求sin2α的值；
（Ⅱ）先求cos2α，再利用角的變換，即可求cos（2α+β）的值．

解答：解：（Ⅰ）因為α是第三象限角，cosα=-

3

4

，
所以sinα=-

1-cos2α

=-

7

4

，
所以sin2α=2sinαcosα=2×(-

7

4

)×(-

3

4

)=

3 7

8

．    …（4分）
（Ⅱ）因為β∈(

π

2

 ， π)，sinβ=

2

3

，
所以cosβ=-

1-sin2β

=-

5

3

，
因為cos2α=2cos2α-1=2×

9

16

-1=

1

8

，cos(2α+β)=cos2αcosβ-sin2αsinβ=

1

8

(-

5

3

)-

3 7

8

×

2

3

=-

5 +6 7

24

．…（10分）

點評：本題考查二倍角公式，考查角的變換，考查學生的計算能力，正確進行角的變換是關鍵．