Question

定義函數為的階函數.
（1）求一階函數的單調區間；
（2）討論方程的解的個數；
（3）求證：.

Answer 1

（1）當時,無單調區間；
當時,的單增區間為單減區間為；
當時,的單增區間為,單減區間為；
（2）當時,方程有兩個不同解.當時,方程有0個解.當或時,方程有唯一；
（3）詳見解析.

解析試題分析：(1)求導，對分情況討論；
(2)研究方程的解的個數，實質就是研究函數的圖象.通過求導，弄清函數的單調區間及函數值的范圍，結合圖象即可知道方程的解的個數.
(3)待證不等式
可變為，左右對照，考慮證：

再聯系到本題所給函數，可令，且研究的3階函數，即.
.由得
則在單調遞增,在單調遞減.
即.又時,
再令即得證.
試題解析：(1),
令,當時,
當時,無單調區間；
當時,的單增區間為單減區間為.
當時,的單增區間為,單減區間為.4分.
(2)由當時,方程無解.當時,
令則由得
從而在單調遞增,在單調遞減.
當時,，當
當,即時,方程有兩個不同解.
當,即時,方程有0個解
當,或即或時,方程有唯一解.
綜上,當時,方程有兩個不同解.當時,方程有0個解.當或時,方程有唯一解. 9分.
(3)特別地：當時由得.
由得
則在單調遞增,在單調遞減.