Question

下圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEFG所截而得,其中AB=4,BC=1,BE=3,CF=4,若如圖所示建立空間直角坐標系:

(1)求和點G的坐標;

(2)求異面直線EF與AD所成的角;

(3)求點C到截面AEFG的距離.

Answer 1

(1)解析：由題圖可知A(1,0,0)、B(1,4,0)、E(1,4,3)、F(0,4,4).??

∴=(-1,0,1).?

又∵=,設G(0,0,z).?

則(-1,0,z)=(-1,0,1),∴z=1,即G(0,0,1).?

(2)解法一:∵AD∥BC,作EH∥BC且交CF于H點，則∠FEH為所求角,?

∵FH=4-3=1,EH=BC=1,?

∴∠FEH=45°,即所求角為45°.?

解法二:∵=(-1,0,0), =(-1,0,1).?

∴cos〈,〉=,?

∴AD和EF所成的角為45°.?

(3)解析：設n⊥面AEFG,n=(x₀,y₀,z₀),∵n⊥,n⊥,?

而=(-1,0,1),=(0,4,3),?

∴?

∴n=(z₀,-z₀,z₀).?

取z₀=4,則n₀=(4,-3,4),?

∵=(0,0,4),?

∴d=?

=.?

∴d=.