Question

已知空間向量

a

=(sinα-1，1)，

b

=(1，1-cosα)，

a

•

b

=

1

5

，α∈（0，

π

2

）．
（1）求sin2α及sinα，cosα的值；
（2）設函數f（x）=5cos（2x-α）+cos2x（x∈R），求f（x）的最小正周期和圖象的對稱中心坐標；
（3）求函數f（x）在區間[-

11π

24

，-

5π

24

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

a

•

b

=sinα-cosα=

1

5

 ①，且α為銳角，平方可得sin2α=

24

25

②，解①②可得sinα，cosα的值．
（2）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式為4

2

sin（2x+

π

4

），由此求得最小正周期，以及對稱中心的坐標
（3）由于當x∈[-

11π

24

，-

5π

24

] 時，（2x+

π

4

）∈[-

2π

3

，-

π

6

]，由此求得sin（2x+

π

4

） 的范圍，即可求得函數f（x）的值域．

解答：解：（1）由題意可得

a

•

b

=（sinα-1）+（1-cosα）=sinα-cosα=

1

5

 ①，且α為銳角．
平方可得1-2sinαcosα=

1

25

，即sin2α=

24

25

②．
由①②解得 sinα=

4

5

，cosα=

3

5

．
（2）∵函數f（x）=5cos（2x-α）+cos2x=5cos2xcosα+5sin2xsinα+cos2x=4sin2x+4cos2x
=4

2

sin（2x+

π

4

），
故函數f（x）的最小正周期為

2π

2

=π．
令2x+

π

4

=kπ，k∈z，可得x=

kπ

2

-

π

8

，故對稱中心的坐標為（

kπ

2

-

π

8

，0），k∈z．
（3）由于當x∈[-

11π

24

，-

5π

24

] 時，（2x+

π

4

）∈[-

2π

3

，-

π

6

]，
故-1≤sin（2x+

π

4

）≤-

1

2

，-4

2

≤4

2

sin（2x+

π

4

）≤-2

2

，
故函數f（x）的值域為[-4

2

，-2

2

]．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式的應用，三角函數的恒等變換及化簡求值，復合三角函數的對稱性、定義域和值域，屬于中檔題．