Question

已知函數f(x)=x2+

1

2

alnx，a∈R．
（1）若a=-4，求函數f（x）的單調區間；
（2）設函數g(x)=

1

2

-cos2x，試問：在定義域內是否存在三個不同的自變量的取值x_i（i=1，2，3）使得f（x_i）-g（x_i）的值恰好都相等，若存在，請求出a的范圍，若不存在，請說明理由？

Answer 1

分析：（1）由a=-4，f′(x)=2x-

2

x

=

2(x2-1)

x

，由此能求出函數f（x）的單調區間．
（2）若定義域內存在三個不同的自變量的取值x_i（i=1，2，3），使得f（x_i）-g（x_i）的值恰好都相等，設f（x_i）-g（x_i）=m．（i=1，2，3），則對于某一實數m，方程f（x）-g（x）=m在（0，+∞）上有三個不等的實數，由此能求出在定義域內不存在三個不同的自變量的取值x_i（i=1，2，3）使得f（x_i）-g（x_i）的值恰好都相等．

解答：解：（1）∵f(x)=x2+

1

2

alnx，a∈R．
∴f′(x)=2x+

a

2x

，
∵a=-4，∴f′(x)=2x-

2

x

=

2(x2-1)

x

，
由x＞0，f′（x）=0，得x=1．
當0＜x＜1時，f′（x）＜0；當x＞1時，f′（x）＞0．
∴函數f（x）的單調減區間為（0，1），單調增區間為（1，+∞）．
（2）若定義域內存在三個不同的自變量的取值x_i（i=1，2，3），
使得f（x_i）-g（x_i）的值恰好都相等，
設f（x_i）-g（x_i）=m．（i=1，2，3），
則對于某一實數m，方程f（x）-g（x）=m在（0，+∞）上有三個不等的實數，
設F（x）=f（x）-g（x）=x²+

1

2

alnx-（

1

2

-cos2x），
=x²+

1

2

alnx+

1

2

cos2x，
則F′(x)=2x+

a

2x

-sinx，x＞0至少有兩個不同的零點，
即a=-（4x²-2xsin2x），x＞0至少有兩個不同的解，
設G（x）=4x²-2xsin2x，x＞0
則G′（x）=8x-2sin2x-4xcos2x
=2（2x-sin2x）+4x（1-cos2x），
設h（x）=2x-sin2x，
則h′（x）=2-2cos2x≥0，
故h（x）在（0，+∞）上單調遞增，
則當x＞0時，h（x）＞h（0）=0，
即2x＞sin2x，
又1-cos2x＞0，
則G′（x）＞0，故G（x）在（0，+∞）上是增函數，
a=-（4x²-2xsin2x），x＞0至多只有一個解，故不存在．

點評：本題考查函數的單調區間的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法．綜合性強，難度大，具有一定的探索性．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．