Question

若非零函數f（x）對任意實數a，b均有f（a+b）=f（a）•f（b），且當x＜0時，f（x）＞1．
（1）求證：f（x）＞0；
（2）求證：f（x）為減函數；
（3）當f(4)=

1

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時，解不等式f(x-3)•f(5-x2)≤

1

4

．

Answer 1

分析：（1）只要證明x=0和x＞0時，f（x）＞0．原式中令b=0得f（a）=f（a）•f（0），可求出f（0）=1，再令a和b互為相反數可解．
（2）抽象函數單調性判斷只能利用定義，先任取兩個自變量，再利用做差或做商法比較兩函數值的大小即可．
（3）利用已知等式可（2）中的單調性去掉f符號，轉化為x的二次不等式求解即可．

解答：解：（1）設x＞0，則-x＜0，在原式中令b=0得f（a）=f（a）•f（0），故f（0）=1，
再令a=x，b=-x，則f（0）=f（x）•f（-x），所以f（x）=

1

f(-x)

，因為-x＜0，所以f（-x）＞1，
所以0＜f（x）＜1，綜上f（x）＞0
（2）任取兩個實數x₁和x₂，且x₁＜x₂，則x₂=x₁+m，且m＞0，所以0＜f（m）＜1
f（x₂）-f（x₁）=f（x₁+m）-f（x₁）=f（x₁）•f（m）-f（x₁）=f（x₁）（f（m）-1）＜0，
所以f（x₂）＜f（x₁），所以f（x）為減函數
（3）由f(4)=

1

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得f（2）=

1

4

，f(x-3)•f(5-x2)≤

1

4

，即f（x-3+5-x²）≤f（2）
由（2）可知x-3+5-x²≥2，即x-x²≥0，所以x∈[0，1]．

點評：本題考查抽象函數的單調性的判斷和利用函數的單調性解不等式，綜合性較強．