Question

（滿分14分）一個同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周圍的圓環分為n（n≥3，n∈N）等份，種植紅、黃、藍三色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花．

   （1）如圖1，圓環分成的3等份為a₁，a₂，a₃，有多少不同的種植方法？如圖2，圓環分成的4等份為a₁，a₂，a₃，a₄，有多少不同的種植方法？

   （2）如圖3，圓環分成的n等份為a₁，a₂，a₃，……，a_n，有多少不同的種植方法？

 

[來源:學#科#網Z#X#X#K]

Answer 1

（1）18     （2）

解析:

（1）如圖1，先對a₁部分種植，有3種不同的種法，再對a₂、a₃種植，

因為a₂、a₃與a₁不同顏色，a₂、a₃也不同．

所以S（3）=3×2=6（種）……………3分

如圖2，S（4）=3×2×2×2－S（3）=18（種）       ……………………………6分

   （2）如圖3，圓環分為n等份，對a₁有3種不同的種法，對a₂、a₃、…、a_n都有兩種不同的種法，但這樣的種法只能保證a₁與a_i（i=2、3、……、n－1）不同顏色，但不能保證a₁與a_n不同顏色．                        ………………………………8分

于是一類是a_n與a₁不同色的種法，這是符合要求的種法，記為種．另一類是a_n與a₁同色的種法，這時可以把a_n與a₁看成一部分，這樣的種法相當于對n－1部分符合要求的種法，記為．

共有3×2^n－1種種法．                ………………………………10分

這樣就有．即，

則數列是首項為公比為－1的等比數列．

則

由⑴知：，∴．

∴．              ………………………………13分[來源:學*科*網]

答：符合要求的不同種法有…………………14分