Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=2a_n+1，求證：數列{a_n}是等比數列，并求出通項公式．

Answer 1

證明：∵S_n=2a_n+1，∴S_n+1=2a_n+1+1．
∴S_n+1-S_n=（2a_n+1+1）-（2a_n+1）=2a_n+1-2a_n.
∴a_n+1=2a_n．                 ①
又∵S₁=a₁=2a₁+1，∴a₁=-1≠0．
由①知，a_n≠0，
∴由=2知，數列{a_n}是等比數列，a_n=-2^n-1．

要證數列是等比數列，關鍵是看a_n與a_n-1之比是否為一常數，由題設還需利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求得a_n．
（1）本題證明，關鍵是用等比數列的定義，其中說明a_n≠0是非常重要的．證明中，也可以寫出S_n-1=2a_n-1+1，從而得到a_n=2a_n-1，只能得到n≥2時，{a_n}是等比數列，得到n≥2時，a_n=-2^n-1，再將n=1時，a₁=-1代入驗證．
（2）證明一個數列是等比數列，常用方法是：①要證明一個數列{a_n}是等比數列，只要證明對于任意自然數n，都等于同一個常數即可．②對于一個數列，除了首項和末項（有窮數列）外，任何一項都是它的前后兩項的等比中項，則此數列是等比數列．