Question

【題目】在四棱錐P—ABCD中，側面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E為PC中點，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．

（Ⅰ）求證：BE∥平面PAD；

（Ⅱ）求證：BC⊥平面PBD；

（Ⅲ）設Q為側棱PC上一點，試確定的值，使得二面角Q—BD—P為45°．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）略

（Ⅱ）略

（Ⅲ）

【解析】

解：（1）取PD的中點F，連接EF，AF，

因為E為PC中點，所以EF//CD，且，

在梯形ABCD中，AB//CD，AB=1，

所以EF//AB，EF=AB，四邊形ABEF為平行四邊形，

所以BE//AF，

BE平面PAD，AF平面PAD，

所以BE//平面PAD．

（2）平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，

所以PD⊥平面ABCD，

所以PD⊥AD．

如圖，以D為原點建立空間直角坐標系Dxyz．

則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）

所以

又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，

所以BC⊥平面PBD．

（3）平面PBD的法向量為=（-1，1，0）

所以Q

設平面QBD的法向量為

則，

所以，

所以

注意到