Question

【題目】已知橢圓的兩焦點為，，離心率.

（1）求此橢圓的方程；

（2）設直線：，若與此橢圓相交于，兩點，且等于橢圓的短軸長，求的值；

（3）以此橢圓的上頂點為直角頂點作橢圓的內接等腰直角三角形，這樣的直角三角形是否存在？若存在，請說明有幾個；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2);(3)見解析.

【解析】

（1）由題設條件橢圓的兩焦點為，，離心率，求出，兩參數的值，即可求得橢圓的方程；（2）根據直線與此橢圓相交于，兩點，且等于橢圓的短軸長，故可由弦長公式建立方程求出參數的值．首先要將直線方程與橢圓方程聯立，再利用弦長公式建立方程，即可求解；（3）先假設能構成等腰直角三角形，其中，由題意可知，直角邊，不可能垂直或平行于軸，故可設邊所在直線的方程為（不妨設），則邊所在直線的方程為，將此兩直線方程與橢圓的方程聯立，分別解出，兩點的坐標，用坐標表示出兩線段，的長度，由兩者相等建立方程求參數，由解的個數判斷三角形的個數即可．

（1）設橢圓方程為，

則，，

所求橢圓方程為.

（2）由，消去y，得，

則得 （*）

設，則，，

，

解得.，滿足（*）

(3)設能構成等腰直角三角形，其中，由題意可知，直角邊，不可能垂直或平行于軸，故可設邊所在直線的方程為（不妨設），則邊所在直線的方程為.

由，得A

用代替上式中的k，得，

由，得

k<0，解得或，

故存在三個內接等腰直角三角形.