Question

（本小題滿分12分）

在平面直角坐標系中，點到兩定點F₁和F₂的距離之和為，設點的軌跡是曲線.(1)求曲線的方程；   (2)若直線與曲線相交于不同兩點、(、不是曲線和坐標軸的交點)，以為直徑的圓過點，試判斷直線是否經過一定點，若是，求出定點坐標；若不是，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)   ；（2）直線過定點，定點坐標為．

【解析】

試題分析：(1)設，由橢圓定義可知，

點的軌跡是以和為焦點，長半軸長為2的橢圓．

它的短半軸長，故曲線的方程為： 

（2）設．

聯立  消去y，整理得，

則 

又．

因為以為直徑的圓過點，，即．

．

．

．

解得：，且均滿足．

當時，的方程，直線過點，與已知矛盾；

當時，的方程為，直線過定點．

所以，直線過定點，定點坐標為．

考點：本題主要考查橢圓的定義及標準方程，直線與橢圓的位置關系。

點評：典型題，關于橢圓的考查，往往以這種“連環題”的形式出現，首先求標準方程，往往不難。而涉及在直線與橢圓的位置關系，往往要利用韋達定理，實現“整體代換”。