Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的短軸長為2 ，離心率為 ，點F為其在y軸正半軸上的焦點． （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若一動圓過點F，且與直線y=﹣1相切，求動圓圓心軌跡C1的方程；
（Ⅲ）過F作互相垂直的兩條直線l1 ， l2 ， 其中l1交曲線C1于M、N兩點，l2交橢圓C于P、Q兩點，求四邊形PMQN面積的最小值．

Answer 1

【答案】解：（I）由題意可得：2b=2 ， ，又a2=b2+c2 ， 聯立解得b= ，a=2，c=1．
∴橢圓C的方程為 =1．
（II）F（0，1），由題意可得：動圓圓心軌跡為拋物線，點F為焦點，直線y=﹣1為準線，
因此C1的方程為：x2=4y．
（III）解：由題意可設直線l1的方程為：y=kx+1，（k≠0），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）．
則直線l1的方程為：y=﹣ x+1，P（x3 ， y3），Q（x4 ， y4）．
聯立 ，可得：x2﹣4kx﹣4=0，可得x1+x2=4k，x1x2=﹣4，
∴|MN|= =4（1+k2）．
同理可得|PQ|=4 ，
∴S四邊形PMQN= |MN||PQ|=8（1+k2） =8 ≥8 =32，
當且僅當k=±1時取等號，此時四邊形PMQN面積的最小值為32
【解析】（I）由題意可得：2b=2 ， ，又a2=b2+c2 ， 聯立解得即可得出．（II）F（0，1），由題意可得：動圓圓心軌跡為拋物線，點F為焦點，直線y=﹣1為準線，即可得出方程．（III）由題意可設直線l1的方程為：y=kx+1，（k≠0），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）． 則直線l1的方程為：y=﹣ x+1，P（x3 ， y3），Q（x4 ， y4）．與拋物線方程聯立可得：x2﹣4kx﹣4=0，利用根與系數的關系代入|MN|= =4（1+k2）．同理可得|PQ|=4 ，利用S四邊形PMQN= |MN||PQ|，及其基本不等式的性質即可得出．